Archivo diario: noviembre 23, 2012

El algoritmo de Euclides.

Euclides (en griego Ευκλείδης, Eukleides) fue un matemático y geómetra griego (ca. 325 – ca. 265 a. C.). Se le conoce como “El Padre de la Geometría”.

El algoritmo de Euclides es un procedimiento para calcular el M. C. D. de dos números. Los pasos son:

1. Se divide el número mayor entre el menor.

2. Si:

1. La división es exacta, el divisor es el M. C. D.

2. La división no es exacta, dividimos el divisor entre el resto obtenido y se continúa de esta forma hasta obtener una división exacta, siendo el último divisor el M. C. D.

Calcular el M. C. D. de:

72 y 16

divisiones

M. C. D.(72, 16) = 8

656 y 848

divisiones

M. C. D.(656, 848) = 16

1278 y 842

divisiones

M. C. D.(1278, 842) = 2

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Divisores de un número.

Un número b es un divisor de otro a cuando lo divide exactamente.

4 es divisor de 12;          12 : 4 = 3.

A los divisores también se les llama factores.

Número de divisores de un número

Se obtiene sumando la unidad a los exponentes y multiplicando los resultados obtenidos:

Número de divisores de 2 520= (3 + 1) · (2 + 1) · (1 + 1) · (1 + 1) = 48

Cálculo de todos los divisores de un número

Se escribe una primera fila formada por la unidad y todas las potencias del primer factor, hasta la que aparezca en el desarrollo, trazando una línea horizontal.

Formación de todos los divisores de 2 520

1 2 4 8

Se escribe una segunda fila, con los productos del segundo factor por la fila anterior. Si el segundo factor se haya elevado a exponentes superiores a la unidad, por cada unidad del exponente se escribe otra fila . Se traza otra línea horizontal.

1 2 4 8
3 6 12 24
9 18 36 72

Se escriben ahora otras filas con los productos del tercer factor (con las potencias correspondientes) por todos los números obtenidos hasta el momento.

1 2 4 8
3 6 12 24
9 18 36 72
5 10 20 40
15 30 60 120
45 90 180 360

Se continúa de igual modo con otros posibles factores.

1 2 4 8
3 6 12 24
9 18 36 72
5 10 20 40
15 30 60 120
45 90 180 360
7 14 28 56
21 42 84 168
63 126 252 504
35 70 140 280
105 210 420 840
315 630 1260 2520

El último divisor obtenido debe coincidir con el número.

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Reglas de divisibilidad.

Un número es divisible por :

2, si termina en cero o número par.

24, 238, 1024.

3, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 3.

36, 564, 2040.

5, si termina en cero o cinco.

45, 515, 7525.

7, cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó múltiplo de 7.

343

34 – 2 · 3 = 28, es mútiplo de 7

105

10 – 5 · 2 = 0

2261

226 – 1 · 2 = 224

Volvemos a repetir el proceso con 224.

22 – 4 · 2 = 14, es mútiplo de 7.

11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es 0 ó múltiplo de 11.

4224

(4 + 2) – (2 + 4) = 0

Otros criterios de divisibilidad

4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.

36, 404, 1 028.

6, si es divisible por  2  y  por  3.

72, 324, 2 400

8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.

4000, 1048, 1 512.

9, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 9.

81, 900, 3 663.

10, si la cifra de las unidades es  0.

130, 1440, 10 230

25, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de  25.

500, 1025, 1875.

125, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de  125.

1000, 1 125, 4 250.

Factorización de un número

Para factorizar un número o descomponerlo en factores efectuamos sucesivas divisiones entre sus divisores primos hasta obtener un uno como cociente.

Para realizar las divisiones utilizaremos una barra vertical, a la derecha escribimos los divisores primos y a la izquierda los cocientes.

Descomposición

432 = 24 · 33

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